정적 오차상수 (정상상태 오차, System type)

1. 정적 오차상수

정적 오차상수(Steady-state error constant)는 시스템의 입력과 출력 간의 정적인 오차를 설명하는 상수입니다. 시스템이 안정 상태에 도달하고 입력 신호가 일정한 값을 유지할 때, 정적 오차상수는 입력과 출력 간의 오차를 정량화하는 데 사용됩니다.

 

제어 시스템 구조

 

아래와 같은 기준 입력신호들로 시스템의 정상상태 오차를 해석할 수 있습니다.

 

 

n = 0 : 단위 계단함수 - 위치 입력을 주는 것 (시스템이 내가 지정한 위치로 이동하길 원한다)

n = 1 : 단위 램프함수 - 속도 입력을 주는 것 (시스템이 내가 지정한 속도로 이동하길 원한다)

n = 2 : 단위 포물선함수 - 가속도 입력을 주는 것 (시스템이 내가 지정한 가속도로 이동하길 원한다)

 

 

위에서 그린 제어시스템 구조의 폐루프 전달 함수는 아래와 같습니다.

 

시스템 오차의 Laplace 변환은 아래와 같습니다.

 

 

위의 식에 최종값 정리를 적용하면 아래와 같습니다.

 

 

위의 최종값 정리에서 기준 입력신호를 나타내는 식 R(s)를 대입하면 아래와 같이 정상상태 오차를 구할 수 있습니다.

 

 

위 식을 통해서, 정상상태 오차는 전달함수 G(s)에 따라 크게 좌우되는 것을 알 수 있습니다. 시스템의 전달함수는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같습니다. (분자가 더 크면 역 라플라스 변환 해서 관찰해보면 발산하는 시스템이기 때문)

따라서 전달함수는 분모가 분자보다 크거나 같도록 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

위에서 표현한 전달함수는 순수 적분수인 j에 따라 제어 시스템의 형(System Type)을 아래와 같이 분류할 수 있습니다.

 

j = 0: 0 형(Type 0) 제어 시스템

j = 1: 1 형(Type 1) 제어 시스템

j = 2: 2 형(Type 2) 제어 시스템

...

 

이처럼 분모와 분자의 차수가 얼마나 차이가 나는지에 따라 System Type을 구분할 수 있습니다. 그렇다면  시스템의 형에 따라 정상상태 응답은 어떻게 변할까요?

위에서 일반식으로 표현한 전달함수의 정상상태 응답을 구하면 아래와 같습니다.

 

 

시스템에 아무런 입력도 주지 않고 전달함수의 정상상태 응답을 구해 보았을 때, j의 값에 따라 즉, 형에 따라 결과가 달라지는 것을 알 수 있습니다. j = 0 이면 K, j > 0이면 무한대가 되겠죠?

그렇다면, 시스템에 단위 계단입력, 단위 램프입력, 단위 포물선입력을 주었을 때, 시스템의 정상상태 응답은 어떻게 변할까요?

어떤 System Type은 입력을 잘 따라갈 것이고(0으로 수렴), 어떤 System Type은 입력을 잘 따라가지 못하고 일정한 오차(정상상태 오차)를 유지하거나 점점 오차가 커질 것(무한대로 발산)입니다.

 

단위 계단입력, 단위 램프입력, 단위 포물선입력을 주면서, 0형, 1형, 2형 시스템이 각각의 입력을 잘 따라갈 수 있는지 알아 보는 것은 상당히 중요합니다. 예를 들어, 만약 우리 시스템이 속도(램프 입력)을 잘 따라가기를 원할 때, 우리 System의 Type이 어떤지 알아봐서 잘 따라갈 수 있을지, 아니면 따라가지 못할지 알아 볼 수도 있기 때문입니다. 만약 따라가지 못한다면 원하는 값을 잘 따라갈 수 있도록 우리의 시스템에 보상기를 달아서, 원하는 값을 잘 따라갈 수 있는 System Type으로 바꿀수도 있습니다.

 

그럼 여러가지 입력을 주었을 때, System Type에 따라 주어진 응답을 잘 따라갈 수 있는지 알아보겠습니다.

 

1. 0형 (Type 0) 제어 시스템

- 위치 입력(단위 스텝입력 r(t) = 1, r(s) = 1/s )이 주어졌을 때의 오차

 

 

- 속도 입력(단위 램프 입력 r(t) = t, r(s) = 1/s^2)

 

 

- 가속도 입력(단위 램프 입력 r(t) = t^2, r(s) = 1/s^3)

 

 

0형 제어시스템은 위치 입력은 일정한 오차를 두고 따라가고, 속도 및 가속도는 따라가지 못하고 점점 더 오차가 커지는 것을 알 수 있습니다.

 

 

2. 1형 (Type 1) 제어 시스템

 

 

- 위치 입력(단위 스텝입력 r(t) = 1, r(s) = 1/s )이 주어졌을 때의 오차

 

 

- 속도 입력(단위 램프 입력 r(t) = t, r(s) = 1/s^2)

 

 

- 포물선 입력(단위  포물선입력 r(t) = t^2, r(s) = 1/s^3)

 

 

1형 제어시스템은 위치 입력을 주었을 때는 오차없이 정확히 도착할 수 있습니다. 속도에 대해서는 일정한 오차를 두고 따라갈 수 있고, 가속도 오차는 점점 더 커집니다.

 

 

3. 2형 (Type 2) 제어 시스템

 

 

- 위치 입력(단위 스텝입력 r(t) = 1, r(s) = 1/s )이 주어졌을 때의 오차

 

 

- 속도 입력(단위 램프 입력 r(t) = t, r(s) = 1/s^2)

 

 

- 포물선 입력(단위  포물선입력 r(t) = t^2, r(s) = 1/s^3)

 

 

2형 시스템은 원하는 속도로 움직여서 원하는 위치에 오차없이 정확하게 도착할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 비록 가속도 오차는 일정하게 존재하지만요.

 

이렇게 여러가지 형으로 존재하는 시스템들에 대해서 여러가지 입력에 따라 정상상태 오차가 어떻게 나타나는지 알 수 있는지 미리 알고 있으면 굉장히 유용합니다.