LQR제어 - State Space Representation (상태방정식)

 

  현대(1960년대 이후)에 들어오면서 시스템은 많이 복잡해졌다. 여러개의 입출력을 가지는 시스템을 개발하고, 시간에 따라 시스템의 변수가 변하는 시변시스템을 고려하기 시작하였다. 그래서 현대에는 선형 시불변, 단일 입출력 시스템에만 적용할 수 있는 고전 제어이론(Conventional control theory)보다 선형과 비선형, 시불변과 시변인 다중입출력 시스템에 적용될 수 있는 현대 제어이론(Modern control theory)을 많이 활용하고 있다. 현대 제어이론에서는 시스템을 표현하기 위해 상태방정식(State Space Representation)을 사용한다. 따라서 상태방정식을 공부하는 것은 현대에 존재하는 시스템을 해석하는데 필수적인 도구라고 할 수 있다. 

(참고로, 고전 제어이론은 복소주파수 영역의 기법이고, 현대 제어이론은 시간영역의 기법이다.)

 

 

< 용어설명 >

 

상태 (State)

 - 어떤 시점(t=t0)에서의 변수를 알고, 시간이 지난 어느 시점(t >= t0)에서의 입력을 알면, 입력이 주어진 시점(t >= t0)에서 시스템의 거동을 완전히 결정할 수 있을 때, 이러한 변수(상태변수)들의 최소집합을 말한다.  

 

상태변수 (State Variable)

 - 동적시스템의 상태변수는 동적시스템의 상태를 결정할 수 있는 최소개수의 변수들이다. 

 

상태벡터 (State Vector)

 - 주어진 시스템의 거동을 표현하기 위해 n개의 상태변수가 필요하다면, 이 n개의 변수를 벡터 x 의 n개의 성분으로 생각할 수 있다. 이러한 벡터를 상태벡터(State Vector)라고 한다. 즉, 상태(State)를 벡터형태(1 x n 행렬)로 나타낸 것이다. 

ex) 3개의 상태변수가 존재한다면,

n1, n2, n3는 상태변수(State Variable)이다.

 

상태공간 (State Space)

 - 좌표축이 x1, x2, ... xn 축으로 구성된 n차원의 공간을 상태공간(State Space)이라고 한다. 하나의 상태는 상태공간에서 한 점을 의미한다. 

ex) 

- 2차원의 상태공간에서 상태: [2, 3] --> x1축에 한 점(2), x2축에 한 점(3).

- 4차원의 상태공간에서 상태: [3, 5, 4, 7]  --> x1축에 한 점(3), x2축에 한 점(5), x3축에 한 점(4), x4축에 한 점(7).

 

 

 

 

 

 

 

 

참고문헌

- MODERN CONTROL ENGINEERING 현대제어공학.

  Katsuhiko Ogata

  강철구 권욱현 박영필 이교일 공역